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Praktikumsprotokoll Fourierspektrum

Von Honki Tonk , 1 April 2016
Artikel
Wissenschaftliche Artikel

Dieses Praktikumsprotokoll entstand wÀhrend meines Physikstudiums im Rahmen des Moduls C-Praktikum. Es wurde von meinem Praktikumspartner und mir erstellt, wobei mein Kommilitone nicht namentlich genannt werden möchte. Das Protokoll wurde zwar testiert, es können sich allerdings dennoch inhaltliche oder grammatikalische Fehler darin befinden. Sollte jemand solche Fehler finden, wÀre ich froh wenn er sie mir mitteilt.

 

Fourierspektrum

 

Inhaltsverzeichnis

 

Abbildungsverzeichnis

Tabellenverzeichnis

1. Grundlagen

1.1. Versuchseinleitung

1.2. Wellenarten

1.3. Akustik und Schall

1.4. Fourier-Analyse

1.5. Dopplereffekt

2. DurchfĂŒhrung und Auswertung

2.1. Frequenzspektren verschiedener Klangquellen

2.2. Bestimmung der Breite der Grundfrequenz

2.3. Bestimmung der UnschÀrfe

2.4. Bestimmung der Pendelgeschwindigkeit

3. Diskussion

4. Zusammenfassung

Quellenverzeichnis

Messprotokoll

 

Abbildungsverzeichnis

 

Abbildung 1: Metallrohr 20 cm

Abbildung 2: HĂ€ndeklatschen

Abbildung 3: Fingerschnippsen

Abbildung 4: Spektrum mit Rate=5K und Points=2048

Abbildung 5: Pendelspektrum

 

Tabellenverzeichnis

 

Tabelle 1: Halbwertsbreite

Tabelle 2: UnschÀrfebestimmung

Tabelle 3: Maximale Geschwindigkeit ĂŒber Auslenkung und Schwingungsdauer, sowie Dopplereffekt

Tabelle 4: Zusammenfassung

 

1. Grundlagen

 

1.1. Versuchseinleitung

 

In diesem Versuch ist es das Ziel, sich nĂ€her mit Fourierspektrum und den damit verbundenen Begriffen, beispielsweiße Wellen, Schall, Akustik, Dopplereffekt, UnschĂ€rferelation und der harmonischen Analyse, auseinander zusetzen.

 

1.2. Wellenarten

 

Eine Welle ist einfach ausgedrĂŒckt, die periodische Ausbreitung einer Schwingung in Raum und Zeit, wĂ€hrend die Schwingung selbst nur eine periodische Bewegung eines Körpers um seine eigene Ruhelage ist. Wenn man bei einer Welle allerdings nur einen einzelnen, bestimmten Punkt betrachtet, dann sieht dieser wie eine Schwingung aus. Des Weiteren teilt sich die Welle in zwei unterschiedliche Wellenarten auf. Einmal gibt es die transversale Welle, auch Quer- oder Schubwelle genannt, bei der die Ausbreitung senkrecht zur Schwingung erfolgt. Beispiele dafĂŒr wĂ€ren die Welle entlang eines Seiles oder Licht in einem Vakuum. Die andere Wellenart ist die longitudinale Welle, auch LĂ€ngswelle genannt, bei der die Ausbreitungsrichtung der Schwingungsrichtung entspricht. Sowas geschieht beispielsweise bei Schallwellen in Gasen oder FlĂŒssigkeiten und benötigt also, anders als elektromagnetische Wellen, ein TrĂ€germedium. Mathematisch kann man diese Wellen mit der Wellengleichung erklĂ€ren:

         (1.2.1)

Wobei die KompressibilitĂ€t  und der Druck p definiert sind durch:

                        (1.2.2)

           (1.2.3)

Dabei ist t die Zeit,  das Volumen, R die universelle Gaskonstante, m die Gasmasse, M die Molmassen und p der Druck. Aus Gleichung (1.2.1) folgt dann, das cÂČ gleich:

           (1.2.4)

ist. Durch die Lösung der Wellengleichung bekommt man dann die folgende Wellenfunktion:

     (1.2.5)

dabei steht  fĂŒr die Auslenkung des Teilchens aus der Ruhelage,  fĂŒr die Amplitude,  die Kreisfrequenz, k fĂŒr die Wellenzahl, x fĂŒr den Ortsvektor und t fĂŒr die Zeit. Möchte man nun, beispielsweise wie in diesem Versuch, die Maximalgeschwindigkeit eines Pendels berechnen, verwendet man die Schwingungsgleichung:

   (1.2.6)

bei der A fĂŒr die Amplitude,  fĂŒr die Winkelgeschwindigkeit und  fĂŒr die Phase steht. Die Winkelgeschwindigkeit lĂ€sst sich dabei berechnen mittels der Formel:

         (1.2.7)

wobei T die Schwingungsdauer darstellt. Setzt man die Gleichung (1.2.7) nun in (1.2.6) ein und leitet sie ab, so erhÀlt man:

    (1.2.8)

woraus sich die maximale Geschwindigkeit, welche das Pendel erreichen kann,  errechnen lĂ€sst. Dazu muss man nur den Cosinus seinen Maximalwert einsetzen, also eins, und erhĂ€lt so die Formel:

    (1.2.9)

Des Weiteren existieren bei Wellen auch so genannte WellenbĂ€uche und Knoten. Ein Bauch entsteht genau da, wo sich bei einer stehenden Welle die maximale Amplitude befindet. Die BĂ€uche haben dabei einen Abstand von einer halben WellenlĂ€nge und zwischen ihnen befindet sich immer ein Knoten. Diese Knoten sind, bei einer ebenen Welle, immer da, wo sich die minimale Amplitude einer Welle befindet. In einer zweidimensionalen Umgebung sind es Knotenlinien und in einer dreidimensionalen Knotenebenen. Außerdem verfĂŒgen Wellen auch ĂŒber die Eigenschaft sich, aufgrund des Superpositionsprinzips, sich zu ĂŒberlagern. Dies bedeutet, dass das aufeinander treffen mehrerer Wellen zur Bildung einer neuen Welle fĂŒhrt. Dabei entspricht deren Auslenkung einer Addition der Einzelauslenkungen der ursprĂŒnglichen Wellen. Sollte die Auslenkung der unterschiedlichen Wellen dabei identisch sein, so bildet sich dadurch eine stehende Welle, deren Auslenkung an bestimmten Stellen immer gleich Null ist. Dabei können sich die Wellen durch unterschiedliche Quellen oder durch das reflektieren einer Welle an einer Wand bilden. Die GesamtlĂ€nge l der dadurch erzeugten Wellen lĂ€sst sich dabei mit der Gleichung:

           (1.2.10)

berechnen, wobei  der WellenlĂ€nge entspricht. Die daraus resultierenden Eigenfrequenzen  lassen sich dann mittels der Formel:

   (1.2.11)

errechnen, wobei c fĂŒr die Schallgeschwindigkeit, beziehungsweise Phasengeschwindigkeit, steht.

 

1.3. Akustik und Schall

 

GerĂ€usche oder Töne, welche ein Bestandteil der Akustik, die auch als Schalllehre bezeichnet wird, sind Sinusschwingungen und die jeweilige Frequenz eines Tones bestimmt die Tonhöhe. Wenn nun ein Grundton und dessen Obertöne ĂŒberlagert werden, dann nennt man dies einen Klang, welcher zwar noch periodisch, aber nicht mehr sinusförmig ist. Berechnet werden können die daraus resultierenden Frequenzen mit der Gleichung:

       (1.3.1)

Wenn die erzeugten Töne zusÀtzlich noch nicht periodischen Quellen entspringen, dann nennt man dies auch Rauschen. TrÀgt man nun die Amplituden aller am Ton beteiligten Teiltöne in AbhÀngigkeit zur Frequenz auf, dann erhÀlt man das sogenannte Fourierspektrum. Weiterhin existiert die SchallintensitÀt I, welche die LautstÀrke eines Schallfeldes angibt, proportional zum Quadrat der Amplitude ist und mit der folgenden Formel berechnet werden kann:

     (1.3.2)

wobei F der senkrecht zur Ausbreitungsrichtung liegenden FlĂ€che und E der Energie des Schalls entspricht. Aufgrund des breiten SchallintensitĂ€tsspektrums, welches das menschliche Gehörsystem abdeckt, wird auch mit dem Pegelmaß gearbeitet, dass eine logarithmischen Skala verwendet. Berechnet wird es unter der Verwendung der Gleichung:

 (1.3.3)

dabei steht dB fĂŒr Dezibel, I fĂŒr die zu messende IntensitĂ€t und  fĂŒr die BezugsintensitĂ€t. Möchte man nun noch berĂŒcksichtigen, dass der Ton nur eine endliche Dauer hat und nicht eine unendliche, wie in Abbildung 2 zu sehen ist, so verĂ€ndert sich seine Gestalt wie die in Abbildung 3. Dabei ist die Frequenzbereichverbreiterung abhĂ€ngig von der LĂ€nge des Impulses T und lĂ€sst sich berechnen mit der Formel:

          (1.3.4)

wobei  fĂŒr die auftretende Unsicherheit bei der Bestimmung der Frequenz steht. Daraus folgt dann auch direkt, dass die Frequenzmessung umso prĂ€ziser wird, je lĂ€nger der Messzeitraum ist. Allerdings wĂŒrde es dadurch auch unmöglich werden, den genauen Zeitpunkt eines bestimmten Ereignisses zu bestimmen. Dieses PhĂ€nomen nennt man auch UnschĂ€rferelation und kann in diesem Kontext mittels der Gleichung:

     (1.3.5)

erklĂ€rt werden, dabei steht  fĂŒr die Dauer des Signals.

 

1.4. Fourier-Analyse

 

Möchte man eine harmonische Analyse durchfĂŒhren, bei der eine erzeugte Wellenform wieder in ihre einzelnen Bestandteile zerlegt wird, so verwendet man die sogenannte Fourier-Analyse. Diese nutzt die Tatsache aus, dass es Möglich ist eine periodische Funktion f(t) als die Summe von trigonometrischen Funktionen darzustellen, was zur folgenden Gleichung fĂŒhrt:

 (1.4.1)

dabei stehen ,  und  fĂŒr die Fourier-Koeffizienten. Diese lassen sich auch mittels der Amplitude  und der Phase  ausdrĂŒcken, was zur folgenden Vereinfachung fĂŒhrt:

      (1.4.2)

und dadurch wĂŒrde sich, bei einer Überlagerung von zwei Wellen, folgende Formel ergeben:

      (1.4.3)

Weiterhin verbindet die Fourier-Transformation das Frequenzspektrum, also die Signaldarstellung als Funktion der Frequenz, und die zeitlichen AblÀufe, also die Signaldarstellung als Funktion der Zeit, miteinander. Bezieht man nun also die Euleresche IdentitÀt mit ein und tausche die Summe in Gleichung (1.4.1) durch ein Integral aus, so erhÀlt man:

  (1.4.4)

und

    (1.4.5)

bei der  der Fourier-Transformierten von  entspricht.

 

1.5. Dopplereffekt

 

Wenn sich ein Beobachter auf eine Signalquelle oder die Quelle auf einen Beobachter zubewegen, dann erhöht sich die Frequenz des Signals und bei einem wegbewegen voneinander, sinkt sie. Dieser Effekt wird als Dopplereffekt bezeichnet und ermöglich beispielsweiße die Bestimmung der maximalen Pendelgeschwindigkeit. Die Ursache fĂŒr diesen Effekt ist die VerĂ€nderung der Entfernung zwischen Signalquelle und Beobachter und die damit verbundene Änderung der WellenlĂ€ngen, siehe dazu auch Abbildung . Bei dem hier vorliegenden Versuchsaufbau reprĂ€sentiert der Lautsprecher zunĂ€chst die Signalquelle und das Pendel den sich auf das Signal zubewegenden Beobachter. Nun kann man die dabei auftretende Pendelfrequenz  berechnet mit der Gleichung:

        (1.5.1)

dabei entspricht  der Ursprungsfrequenz und v der Pendelgeschwindigkeit. Nach dem Auftreffen des Signals auf dem Pendel, wird es reflektiert und das Pendel reprĂ€sentiert nun die Quelle, was zu einer Änderung der ankommenden Frequenz, welche mittels der Formel (1.4.1) berechnet wurde, fĂŒhrt. Diese geĂ€nderte Frequenz kann nun mit einer leicht geĂ€ndert Version der Gleichung (1.4.1) berechnet werden:

        (1.5.2)

Außerdem gilt NĂ€herungsweiße fĂŒr die auftretende Frequenzverschiebung  die Formel:

    (1.5.3)

und weiterhin:

       (1.5.4)

wobei  fĂŒr die einfache FrequenzĂ€nderung steht. Setzt man in diese Gleichung nun die Formeln (1.5.1) und (1.5.3) ein, so erhĂ€lt man:

   (1.5.5)

2. DurchfĂŒhrung und Auswertung

 

2.1. Frequenzspektren verschiedener Klangquellen

 

Im ersten Versuchsteil wurden mithilfe eines Mikrofons am Computer die Frequenzspektren verschiedener Klangquellen wie z.B. eines Metallrohrs oder des HĂ€ndeklatschens gemessen. Die Einstellung des Programms „Gram6“ erfolgte genauso wie in der Versuchsanleitung beschrieben. In den folgenden Abbildungen ist die IntensitĂ€t in dB auf der y-Achse ĂŒber die Frequenz in Hz auf der x-Achse aufgetragen.

 

 

 

 

 

 

Wie in den Abbildungen zu erkennen ist stechen nur bei dem Metallrohr einzelne Peaks bei bestimmten Frequenzen heraus, wÀhrend bei den anderen Klangquellen das Spektrum kontinuierlicher verlÀuft und Spitzen oft dicht nebeneinander liegen. Die deutlichen und vereinzelten Peaks beim Metallrohr lassen sich dadurch erklÀren, dass sich im Metallrohr stehende Wellen bilden, welche nur bei bestimmten Frequenzen möglich sind.

 

2.2. Bestimmung der Breite der Grundfrequenz

 

Im zweiten Versuchsteil wurde mithilfe des Frequenzgenerators und des Lautsprechers ein Ton erzeugt und wie im ersten Versuchsteil aufgenommen. Es wurde zuerst die maximale IntensitĂ€t abgelesen und anhand dieser dann jeweils links und rechts der MaximalintensitĂ€t die Frequenz bei halber IntensitĂ€t abgelesen. Dies wurde fĂŒr drei verschiede erzeugte Töne durchgefĂŒhrt. Die Frequenzbreite wird nun folgendermaßen fĂŒr den ersten Ton berechnet.

 

Grundton in Hz

Halbwertsbreite in Hz

2000

24

10000

17

15000

15

Tabelle 1: Halbwertsbreite

 

2.3. Bestimmung der UnschÀrfe

 

Im dritten Versuchsteil wurde mit dem Frequenzgenerator ein Ton erzeugt, der im Sekundentakt eine Rampe von 2,0 kHz bis 2,2 kHz fĂ€hrt und ebenfalls wieder aufgenommen, wobei Frequenz und Zeit, sowie die IntensitĂ€t als Falschfarbendarstellung aufgezeichnet wurden. Hier wurde auf einer Rampe die MaximalintensitĂ€t gesucht und dann in beiden Richtungen die Frequenz bei halber IntensitĂ€t, bzw. die Zeit bei halber IntensitĂ€t abgelesen. Die halbe IntensitĂ€t liegt 3 dB unter der MaximalintensitĂ€t, allerdings war es je nach Einstellung nicht möglich einen Punkt zu finden der um exakt 3 dB kleiner war, in diesem Fall wurde der Punkt verwendet, welcher am nĂ€chsten an diesem lag. Dies wurde fĂŒr fĂŒnf verschiede Einstellungen von Sample-Rate und Points durchgefĂŒhrt. Die folgende Abbildung zeigt beispielhaft das Spektrum einer Messung.

 

 

Die Frequenzbreite wird genau wie in Abschnitt 2.2 berechnet und analog zur Frequenzbreite auch die Zeitbreite. Die UnschĂ€rfe U wird mit Formel (1.3.5) berechnet, wobei der Wert 1 nur theoretisch gilt. Die Berechnung der UnschĂ€rfe wird nur fĂŒr die erste Messung gezeigt, fĂŒr alle anderen Messungen erfolgt die Berechnung analog.

 

Samplerate

Points

U

44K

4096

1,1 ± 1,1

11K

1024

0,8 ± 0,8

22K

512

12 ± 12

48K

16384

3,6 ± 1,2

5K

2048

3,6 ± 0,5

Tabelle 2: UnschÀrfebestimmung

Anschließend wird der Mittelwert von U gebildet zu  und der Fehler ergibt sich aus der grĂ¶ĂŸten Differenz zwischen Mittelwert und Messwert, sowie dem grĂ¶ĂŸten Fehler von U, sodass sich ein Wert ergibt von:

 

 

2.4. Bestimmung der Pendelgeschwindigkeit

 

Im vierten Versuchsteil wurden Lautsprecher und Mikrofon senkrecht zu Pendelplatte aufgestellt. Mit dem Frequenzgenerator wurde nun ein Ton erzeugt und die Platte immer um  ausgelenkt. Das ĂŒber das Mikrofon aufgenommene Spektrum einer Messung ist in der folgenden Abbildung zu sehen.

 

 

Die maximale Geschwindigkeit des Pendels kann nun einerseits mit Formel (1.2.9) berechnet werden, wozu die Schwingungsdauer als Zeitdifferenz zwischen zwei Maximal der oben abgebildeten Wellenfunktion gemessen wird und andererseits kann die maximale Geschwindigkeit mit Formel (1.5.5) berechnet werden, wobei fĂŒr  die halbe Differenz zwischen grĂ¶ĂŸter und kleinster gemessener Frequenz, und  verwendet wird. Beispielrechnung fĂŒr die maximale Geschwindigkeit aus Schwingungsdauer und Auslenkung:

 

Beispielrechnung fĂŒr die maximale Geschwindigkeit durch Dopplereffekt:

 

Grundfrequenz in Hz

Auslenkung und Schwingungsdauer

 in

Dopplereffekt

 

 in

15000

033 ± 0,02

0,68 ± 0,06

5000

0,29 ± 0,02

0,79 ± 0,04

8000

0,32 ± 0,02

0,81 ± 0,06

11000

0,32 ± 0,02

1,14 ± 0,08

17000

0,34 ± 0,02

0,82 ± 0,05

13000

0,33 ± 0,02

1,14 ± 0,07

Tabelle 3: Maximale Geschwindigkeit ĂŒber Auslenkung und Schwingungsdauer, sowie Dopplereffekt

 

3. Diskussion

 

Der zu  bestimmte Wert der UnschĂ€rfe widerspricht und Einbeziehung des Fehler zwar nicht dem theoretischen Wert von 1, aber der Fehler der UnschĂ€rfe ist im Vergleich zum Messwert sehr groß. Da der Wert 1 nur theoretisch unter idealen Bedingungen zu erreichen ist, war zu erwarten, dass der Wert grĂ¶ĂŸer ausfĂ€llt. GrĂŒnde fĂŒr den großen Fehler sind unter anderem, dass Frequenzbreite und Zeitbreite nicht beliebig genau messbar sind, nicht immer Punkte mit halber IntensitĂ€t, oder aber auch mehrere Punkte mit halber IntensitĂ€t, aber verschiedenen Frequenzen, bzw. Zeiten zu finden waren. Besonders der Messwert mit nur 512 Points hat einen großen Anteil des Fehlers ausgemacht. Die aus der Auslenkung und Schwingungsdauer bestimmten maximalen Geschwindigkeiten stimmen auch unter Einbeziehung der Fehler nicht mit den durch den Dopplereffekt bestimmten maximalen Geschwindigkeiten ĂŒberein. Mögliche GrĂŒnde dafĂŒr sind, dass in Abbildung 6 die Schwingungsdauer des Pendels nicht genau angelesen werden konnten und auch aufgrund des Versuchsaufbaus die Auslenkung des Pendels nicht sehr prĂ€zise gemessen werden konnte. Weiterhin schwanke die Pendelplatte wĂ€hrend den Schwingungen ein wenig hin und her und der Lautsprecher und das Mikrofon konnten nicht beide exakt senkrecht zur Platte ausgerichtet werden.

 

4. Zusammenfassung

 

In diesem Versuch wurde die mittlere UnschÀrfe auf verschiedenen Einstellungen bestimmt zu

 

sowie bei mehreren Frequenzen die maximale Geschwindigkeit des Pendels auf zwei unterschiedlichen Wegen bestimmt

Grundfrequenz in Hz

Auslenkung und Schwingungsdauer

 in

Dopplereffekt

 

 in

15000

033 ± 0,02

0,68 ± 0,06

5000

0,29 ± 0,02

0,79 ± 0,04

8000

0,32 ± 0,02

0,81 ± 0,06

11000

0,32 ± 0,02

1,14 ± 0,08

17000

0,34 ± 0,02

0,82 ± 0,05

13000

0,33 ± 0,02

1,14 ± 0,07

Tabelle 4: Zusammenfassung

 

Quellenverzeichnis

 

  1. Demtröder, W. (2013). Experimentalphysik 1 - Mechanik und WÀrme (6., neu bearbeitete und aktualisierte Ausg.). Springer-Verlag.
  2. Kuchling, H. (2014). Taschenbuch der Physik (21. Ausg.). MĂŒnchen: Carl Hanser Verlag.
  3. Martin, A. P. (27. Mai 2015). LEIFIphysik. Abgerufen am 27. Mai 2015 von LEIFIphysik: http://www.leifiphysik.de/themenbereiche/mechanische-wellen/versuche
  4. Meschede, D. (2010). Gerthsen Physik (24. ĂŒberarbeitete Ausg.). Springer-Verlag.
  5. Sengpielaudio. (kein Datum). Abgerufen am 19. September 2014 von Sengpielaudio: http://www.sengpielaudio.com/Rechner-schallgeschw.htm
  6. Tipler, P. A., & Mosca, G. (2009). Physik (6. Ausg.). Springer-Verlag.

 

Messprotokoll

 

 

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